Refactor wiring diagrams

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diff --git a/Data/WiringDiagram/Full.agda b/Data/WiringDiagram/Full.agda
deleted file mode 100644
index 8cfe9eb..0000000
--- a/Data/WiringDiagram/Full.agda
+++ /dev/null
@@ -1,261 +0,0 @@
-{-# OPTIONS --without-K --safe #-}
-
-open import Categories.Category using (Category)
-open import Categories.Category.Monoidal using (Monoidal)
-open import Level using (Level)
-
-module Data.WiringDiagram.Full {o ℓ e : Level} {𝒞 : Category o ℓ e} (M : Monoidal 𝒞) where
-
-open import Categories.Category.Helper using (categoryHelper)
-open import Relation.Binary using (IsEquivalence)
-
-module U = Category 𝒞
-module M = Monoidal M
-open M
-
-record Box : Set o where
-
-  constructor _□_
-
-  field
-    ᵢ : U.Obj
-    ₒ : U.Obj
-
-infix 4 _□_
-
-record WiringDiagram (A B : Box) : Set ℓ where
-
-  constructor _⧈_
-
-  private
-    module A = Box A
-    module B = Box B
-
-  field
-    input : A.ₒ ⊗₀ B.ᵢ U.⇒ A.ᵢ
-    output : A.ₒ U.⇒ B.ₒ
-
-infix 4 _⧈_
-
-record _≈_ {A B : Box} (f g : WiringDiagram A B) : Set e where
-
-  constructor _⌸_
-
-  private
-
-    module f = WiringDiagram f
-    module g = WiringDiagram g
-
-  field
-    ≈i : f.input U.≈ g.input
-    ≈o : f.output U.≈ g.output
-
-infix 4 _≈_
-
-module _ {A B : Box} where
-
-  ≈-refl : {x : WiringDiagram A B} → x ≈ x
-  ≈-refl = U.Equiv.refl ⌸ U.Equiv.refl
-
-  ≈-sym : {x y : WiringDiagram A B} → x ≈ y → y ≈ x
-  ≈-sym (≈i ⌸ ≈o) = U.Equiv.sym ≈i ⌸ U.Equiv.sym ≈o
-
-  ≈-trans : {x y z : WiringDiagram A B} → x ≈ y → y ≈ z → x ≈ z
-  ≈-trans (≈i₁ ⌸ ≈o₁) (≈i₂ ⌸ ≈o₂) = U.Equiv.trans ≈i₁ ≈i₂ ⌸ U.Equiv.trans ≈o₁ ≈o₂
-
-  ≈-isEquiv : IsEquivalence (_≈_ {A} {B})
-  ≈-isEquiv = record
-      { refl = ≈-refl
-      ; sym = ≈-sym
-      ; trans = ≈-trans
-      }
-
-open import Categories.Object.Monoid using (IsMonoid)
-open import Categories.Category.Monoidal.Properties M using (coherence₁) renaming (monoidal-Op to Mᵒᵖ)
-
-comonoid : {A : U.Obj} → IsMonoid Mᵒᵖ A
-comonoid = ?
-
-discard : {A : U.Obj} → A U.⇒ unit
-discard = IsMonoid.η comonoid
-
-copy : {A : U.Obj} → A U.⇒ A ⊗₀ A
-copy = IsMonoid.μ comonoid
-
-module _ {A B : U.Obj} {f : A U.⇒ B} where
-
-  μ⇒ : copy U.∘ f U.≈ f ⊗₁ f U.∘ copy
-  μ⇒ = ?
-
-  η⇒ : discard U.∘ f U.≈ discard
-  η⇒ = ?
-
-⊗-snd : {A B : U.Obj} → A ⊗₀ B U.⇒ B
-⊗-snd {A} {B} = unitorˡ.from U.∘ discard ⊗₁ U.id
-
-id : {A : Box} → WiringDiagram A A
-id {A} = ⊗-snd ⧈ U.id
-
-_∘_ : {A B C : Box} → WiringDiagram B C → WiringDiagram A B → WiringDiagram A C
-_∘_ {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {Cᵢ □ Cₒ} (f′ ⧈ g′) (f ⧈ g) = f″ ⧈ g′ U.∘ g
-  where
-    f″ : Aₒ ⊗₀ Cᵢ U.⇒ Aᵢ
-    f″ = f U.∘ U.id ⊗₁ (f′ U.∘ g ⊗₁ U.id) U.∘ associator.from U.∘ copy ⊗₁ U.id
-
-import Categories.Category.Monoidal.Reasoning as ⊗-Reasoning
-open import Categories.Category.Monoidal.Utilities M using (module Shorthands)
-open Shorthands using (α⇒; α⇐; λ⇒; λ⇐; ρ⇒; ρ⇐)
-import Categories.Morphism.Reasoning as ⇒-Reasoning
-
-∘-resp-≈ : {A B C : Box} {f h : WiringDiagram B C} {g i : WiringDiagram A B} → f ≈ h → g ≈ i → f ∘ g ≈ h ∘ i
-∘-resp-≈ {A} {B} {C} {fᵢ ⧈ fₒ} {hᵢ ⧈ hₒ} {gᵢ ⧈ gₒ} {iᵢ ⧈ iₒ} (fᵢ≈hᵢ ⌸ fₒ≈hₒ) (gᵢ≈iᵢ ⌸ gₒ≈iₒ) = ≈ᵢ ⌸ U.∘-resp-≈ fₒ≈hₒ gₒ≈iₒ
-  where
-    open ⊗-Reasoning M
-    ≈ᵢ : gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (fᵢ U.∘ gₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy {Box.ₒ A} ⊗₁ U.id
-       U.≈ iᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (hᵢ U.∘ iₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-    ≈ᵢ = gᵢ≈iᵢ ⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (fᵢ≈hᵢ ⟩∘⟨ gₒ≈iₒ ⟩⊗⟨refl) ⟩∘⟨refl
-
-assoc : {A B C D : Box} {f : WiringDiagram A B} {g : WiringDiagram B C} {h : WiringDiagram C D} → (h ∘ g) ∘ f ≈ h ∘ (g ∘ f)
-assoc {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {Cᵢ □ Cₒ} {Dᵢ □ Dₒ} {fᵢ ⧈ fₒ} {gᵢ ⧈ gₒ} {hᵢ ⧈ hₒ} = ≈ᵢ ⌸ U.assoc
-  where
-    open ⊗-Reasoning M
-
-    term₁ : Aₒ ⊗₀ Dᵢ U.⇒ Cᵢ
-    term₁ = hᵢ U.∘ (gₒ U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id
-
-    term₂ : Bₒ ⊗₀ Dᵢ U.⇒ Cᵢ
-    term₂ = hᵢ U.∘ gₒ ⊗₁ U.id
-
-    term₃ : Aₒ ⊗₀ Cᵢ U.⇒ Bᵢ
-    term₃ = gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ U.id
-    open ⇒-Reasoning 𝒞
-
-    lemma₁ : α⇒ {Aₒ ⊗₀ Aₒ} {Aₒ} {Dᵢ} U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id U.≈ copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-    lemma₁ = begin
-        α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id         ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₁ˡ ⟩
-        α⇒ U.∘ α⇐ ⊗₁ U.id U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ˡ ⟩
-        α⇒ U.∘ α⇐ ⊗₁ U.id U.∘ (U.id ⊗₁ copy U.∘ copy) ⊗₁ U.id         ≈⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ˡ ⟩
-        α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy U.∘ copy) ⊗₁ U.id                 ≈⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟩⊗⟨refl ⟨
-        α⇒ U.∘ ((α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) U.∘ copy) ⊗₁ U.id               ≈⟨ refl⟩∘⟨ IsMonoid.assoc comonoid ⟩⊗⟨refl ⟨
-        α⇒ U.∘ (copy ⊗₁ U.id U.∘ copy) ⊗₁ U.id                        ≈⟨ refl⟩∘⟨ split₁ˡ ⟩
-        α⇒ U.∘ (copy ⊗₁ U.id) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id                ≈⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟩
-        copy ⊗₁ U.id ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id                  ≈⟨ refl⟩⊗⟨ ⊗.identity ⟩∘⟨refl ⟩
-        copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id                          ∎
-
-    lemma₂ :  copy ⊗₁ U.id U.∘ fₒ ⊗₁ U.id U.≈ (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-    lemma₂ = begin
-        copy ⊗₁ U.id U.∘ fₒ ⊗₁ U.id         ≈⟨ merge₁ʳ ⟩
-        (copy U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id               ≈⟨ μ⇒ ⟩⊗⟨refl ⟩
-        (fₒ ⊗₁ fₒ U.∘ copy) ⊗₁ U.id         ≈⟨ split₁ʳ ⟩
-        (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ∎
-
-    ≈ᵢ : fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (hᵢ U.∘ gₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-      U.≈ (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ (hᵢ U.∘ (gₒ U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-    ≈ᵢ = begin
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ extendˡ (extendˡ U.assoc) ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ α⇒) U.∘ copy ⊗₁ U.id U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ lemma₂) ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ α⇒) U.∘ (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ extendˡ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂) U.∘ α⇒ U.∘ (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ) ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂) U.∘ fₒ ⊗₁ fₒ ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ fₒ ⊗₁ fₒ ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ pullˡ merge₂ˡ ) ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ (term₂ U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ pullʳ merge₁ʳ ⟩∘⟨refl) ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ extendˡ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒) U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒) U.∘ U.id ⊗₁ copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒) U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ (refl⟩⊗⟨ U.assoc ⟩∘⟨refl) ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒) U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ insertˡ associator.isoʳ ⟩⊗⟨refl ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇒ U.∘ α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₁ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ ⊗₁ U.id U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ (α⇒ U.∘ α⇒ ⊗₁ U.id) U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ pentagon ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ pushʳ serialize₁₂ ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (term₃ U.∘ U.id ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ U.id ⊗₁ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ U.id) ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ ⊗.identity ⟩⊗⟨refl ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ lemma₁ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ (U.Equiv.sym serialize₂₁ ○ serialize₁₂) ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ (α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟨
-        fᵢ U.∘ (U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
-            ≈⟨ U.assoc ⟨
-        (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ∎
-
-identityˡ : {A B : Box} {f : WiringDiagram A B} → id ∘ f ≈ f
-identityˡ {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {fᵢ ⧈ fₒ} = ≈ᵢ ⌸ U.identityˡ
-  where
-    open ⇒-Reasoning 𝒞
-    open ⊗-Reasoning M
-    ≈ᵢ : fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.≈ fᵢ
-    ≈ᵢ = begin
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id  ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ pullʳ merge₁ʳ ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (λ⇒ U.∘ (discard U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id          ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ η⇒ ⟩⊗⟨refl) ⟩∘⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id                   ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ discard ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id             ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ discard) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id           ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ˡ ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ discard U.∘ copy) ⊗₁ U.id                   ≈⟨ refl⟩∘⟨ pullˡ triangle ⟩
-        fᵢ U.∘ ρ⇒ ⊗₁ U.id U.∘ (U.id ⊗₁ discard U.∘ copy) ⊗₁ U.id                          ≈⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ (ρ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ discard U.∘ copy) ⊗₁ U.id                                  ≈⟨ refl⟩∘⟨ (refl⟩∘⟨ IsMonoid.identityʳ comonoid) ⟩⊗⟨refl ⟨
-        fᵢ U.∘ (ρ⇒ U.∘ ρ⇐) ⊗₁ U.id                                                        ≈⟨ refl⟩∘⟨ unitorʳ.isoʳ ⟩⊗⟨refl  ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id                                                               ≈⟨ elimʳ ⊗.identity ⟩
-        fᵢ                                                                                ∎
-
-identityʳ : {A B : Box} {f : WiringDiagram A B} → (f ∘ id) ≈ f
-identityʳ {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {fᵢ ⧈ fₒ} = ≈ᵢ ⌸ U.identityʳ
-  where
-    open ⇒-Reasoning 𝒞
-    open ⊗-Reasoning M
-    ≈ᵢ : (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.≈ fᵢ
-    ≈ᵢ = begin
-        (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id  ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ elimʳ ⊗.identity ⟩∘⟨refl ⟩
-        (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id                     ≈⟨ pullˡ (pullʳ (U.Equiv.sym serialize₁₂)) ⟩
-        (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ fᵢ) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id                                      ≈⟨ pullʳ (pushˡ serialize₂₁) ⟩
-        λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ discard ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id                       ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ ⊗.identity ⟩∘⟨refl ⟨
-        λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ discard ⊗₁ U.id ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id               ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
-        λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ α⇒ U.∘ (discard ⊗₁ U.id) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id             ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ʳ ⟩
-        λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ α⇒ U.∘ (discard ⊗₁ U.id U.∘ copy) ⊗₁ U.id                     ≈⟨ extendʳ unitorˡ-commute-from ⟩
-        fᵢ U.∘ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (discard ⊗₁ U.id U.∘ copy) ⊗₁ U.id                             ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ IsMonoid.identityˡ comonoid ⟩⊗⟨refl ⟨
-        fᵢ U.∘ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ λ⇐ ⊗₁ U.id                                                     ≈⟨ refl⟩∘⟨ pullˡ coherence₁ ⟩
-        fᵢ U.∘ λ⇒ ⊗₁ U.id U.∘ λ⇐ ⊗₁ U.id                                                    ≈⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ʳ ⟩
-        fᵢ U.∘ (λ⇒ U.∘ λ⇐) ⊗₁ U.id                                                          ≈⟨ refl⟩∘⟨ unitorˡ.isoʳ ⟩⊗⟨refl ⟩
-        fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id                                                                 ≈⟨ elimʳ ⊗.identity ⟩
-        fᵢ                                                                                  ∎
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