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{-# OPTIONS --without-K --safe #-}
open import Categories.Category using (Category)
open import Categories.Category.Monoidal using (Monoidal)
open import Level using (Level)
module Data.WiringDiagram.Full {o ℓ e : Level} {𝒞 : Category o ℓ e} (M : Monoidal 𝒞) where
open import Categories.Category.Helper using (categoryHelper)
open import Relation.Binary using (IsEquivalence)
module U = Category 𝒞
module M = Monoidal M
open M
record Box : Set o where
constructor _□_
field
ᵢ : U.Obj
ₒ : U.Obj
infix 4 _□_
record WiringDiagram (A B : Box) : Set ℓ where
constructor _⧈_
private
module A = Box A
module B = Box B
field
input : A.ₒ ⊗₀ B.ᵢ U.⇒ A.ᵢ
output : A.ₒ U.⇒ B.ₒ
infix 4 _⧈_
record _≈_ {A B : Box} (f g : WiringDiagram A B) : Set e where
constructor _⌸_
private
module f = WiringDiagram f
module g = WiringDiagram g
field
≈i : f.input U.≈ g.input
≈o : f.output U.≈ g.output
infix 4 _≈_
module _ {A B : Box} where
≈-refl : {x : WiringDiagram A B} → x ≈ x
≈-refl = U.Equiv.refl ⌸ U.Equiv.refl
≈-sym : {x y : WiringDiagram A B} → x ≈ y → y ≈ x
≈-sym (≈i ⌸ ≈o) = U.Equiv.sym ≈i ⌸ U.Equiv.sym ≈o
≈-trans : {x y z : WiringDiagram A B} → x ≈ y → y ≈ z → x ≈ z
≈-trans (≈i₁ ⌸ ≈o₁) (≈i₂ ⌸ ≈o₂) = U.Equiv.trans ≈i₁ ≈i₂ ⌸ U.Equiv.trans ≈o₁ ≈o₂
≈-isEquiv : IsEquivalence (_≈_ {A} {B})
≈-isEquiv = record
{ refl = ≈-refl
; sym = ≈-sym
; trans = ≈-trans
}
open import Categories.Object.Monoid using (IsMonoid)
open import Categories.Category.Monoidal.Properties M using (coherence₁) renaming (monoidal-Op to Mᵒᵖ)
comonoid : {A : U.Obj} → IsMonoid Mᵒᵖ A
comonoid = ?
discard : {A : U.Obj} → A U.⇒ unit
discard = IsMonoid.η comonoid
copy : {A : U.Obj} → A U.⇒ A ⊗₀ A
copy = IsMonoid.μ comonoid
module _ {A B : U.Obj} {f : A U.⇒ B} where
μ⇒ : copy U.∘ f U.≈ f ⊗₁ f U.∘ copy
μ⇒ = ?
η⇒ : discard U.∘ f U.≈ discard
η⇒ = ?
⊗-snd : {A B : U.Obj} → A ⊗₀ B U.⇒ B
⊗-snd {A} {B} = unitorˡ.from U.∘ discard ⊗₁ U.id
id : {A : Box} → WiringDiagram A A
id {A} = ⊗-snd ⧈ U.id
_∘_ : {A B C : Box} → WiringDiagram B C → WiringDiagram A B → WiringDiagram A C
_∘_ {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {Cᵢ □ Cₒ} (f′ ⧈ g′) (f ⧈ g) = f″ ⧈ g′ U.∘ g
where
f″ : Aₒ ⊗₀ Cᵢ U.⇒ Aᵢ
f″ = f U.∘ U.id ⊗₁ (f′ U.∘ g ⊗₁ U.id) U.∘ associator.from U.∘ copy ⊗₁ U.id
import Categories.Category.Monoidal.Reasoning as ⊗-Reasoning
open import Categories.Category.Monoidal.Utilities M using (module Shorthands)
open Shorthands using (α⇒; α⇐; λ⇒; λ⇐; ρ⇒; ρ⇐)
import Categories.Morphism.Reasoning as ⇒-Reasoning
∘-resp-≈ : {A B C : Box} {f h : WiringDiagram B C} {g i : WiringDiagram A B} → f ≈ h → g ≈ i → f ∘ g ≈ h ∘ i
∘-resp-≈ {A} {B} {C} {fᵢ ⧈ fₒ} {hᵢ ⧈ hₒ} {gᵢ ⧈ gₒ} {iᵢ ⧈ iₒ} (fᵢ≈hᵢ ⌸ fₒ≈hₒ) (gᵢ≈iᵢ ⌸ gₒ≈iₒ) = ≈ᵢ ⌸ U.∘-resp-≈ fₒ≈hₒ gₒ≈iₒ
where
open ⊗-Reasoning M
≈ᵢ : gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (fᵢ U.∘ gₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy {Box.ₒ A} ⊗₁ U.id
U.≈ iᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (hᵢ U.∘ iₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈ᵢ = gᵢ≈iᵢ ⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (fᵢ≈hᵢ ⟩∘⟨ gₒ≈iₒ ⟩⊗⟨refl) ⟩∘⟨refl
assoc : {A B C D : Box} {f : WiringDiagram A B} {g : WiringDiagram B C} {h : WiringDiagram C D} → (h ∘ g) ∘ f ≈ h ∘ (g ∘ f)
assoc {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {Cᵢ □ Cₒ} {Dᵢ □ Dₒ} {fᵢ ⧈ fₒ} {gᵢ ⧈ gₒ} {hᵢ ⧈ hₒ} = ≈ᵢ ⌸ U.assoc
where
open ⊗-Reasoning M
term₁ : Aₒ ⊗₀ Dᵢ U.⇒ Cᵢ
term₁ = hᵢ U.∘ (gₒ U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id
term₂ : Bₒ ⊗₀ Dᵢ U.⇒ Cᵢ
term₂ = hᵢ U.∘ gₒ ⊗₁ U.id
term₃ : Aₒ ⊗₀ Cᵢ U.⇒ Bᵢ
term₃ = gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ U.id
open ⇒-Reasoning 𝒞
lemma₁ : α⇒ {Aₒ ⊗₀ Aₒ} {Aₒ} {Dᵢ} U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id U.≈ copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
lemma₁ = begin
α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₁ˡ ⟩
α⇒ U.∘ α⇐ ⊗₁ U.id U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ˡ ⟩
α⇒ U.∘ α⇐ ⊗₁ U.id U.∘ (U.id ⊗₁ copy U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ˡ ⟩
α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟩⊗⟨refl ⟨
α⇒ U.∘ ((α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ IsMonoid.assoc comonoid ⟩⊗⟨refl ⟨
α⇒ U.∘ (copy ⊗₁ U.id U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ split₁ˡ ⟩
α⇒ U.∘ (copy ⊗₁ U.id) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟩
copy ⊗₁ U.id ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩⊗⟨ ⊗.identity ⟩∘⟨refl ⟩
copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ∎
lemma₂ : copy ⊗₁ U.id U.∘ fₒ ⊗₁ U.id U.≈ (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
lemma₂ = begin
copy ⊗₁ U.id U.∘ fₒ ⊗₁ U.id ≈⟨ merge₁ʳ ⟩
(copy U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id ≈⟨ μ⇒ ⟩⊗⟨refl ⟩
(fₒ ⊗₁ fₒ U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ split₁ʳ ⟩
(fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ∎
≈ᵢ : fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (hᵢ U.∘ gₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
U.≈ (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ (hᵢ U.∘ (gₒ U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈ᵢ = begin
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ extendˡ (extendˡ U.assoc) ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ α⇒) U.∘ copy ⊗₁ U.id U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ lemma₂) ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ α⇒) U.∘ (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ extendˡ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂) U.∘ α⇒ U.∘ (fₒ ⊗₁ fₒ) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ) ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂) U.∘ fₒ ⊗₁ fₒ ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₂ U.∘ fₒ ⊗₁ fₒ ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ pullˡ merge₂ˡ ) ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ (term₂ U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ pullʳ merge₁ʳ ⟩∘⟨refl) ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ extendˡ U.assoc ⟩∘⟨refl ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒) U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒) U.∘ U.id ⊗₁ copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒) U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ (refl⟩⊗⟨ U.assoc ⟩∘⟨refl) ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒) U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ insertˡ associator.isoʳ ⟩⊗⟨refl ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇒ U.∘ α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₁ʳ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ ⊗₁ U.id U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ U.id ⊗₁ α⇒ U.∘ (α⇒ U.∘ α⇒ ⊗₁ U.id) U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ pentagon ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (gᵢ U.∘ fₒ ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ pushʳ serialize₁₂ ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (term₃ U.∘ U.id ⊗₁ term₁) U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ U.id ⊗₁ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ U.id) ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ ⊗.identity ⟩⊗⟨refl ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ (α⇐ U.∘ U.id ⊗₁ copy) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ lemma₁ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ (U.Equiv.sym serialize₂₁ ○ serialize₁₂) ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ (α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ refl⟩∘⟨ U.assoc ⟨
fᵢ U.∘ (U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id
≈⟨ U.assoc ⟨
(fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ term₃ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ term₁ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ∎
identityˡ : {A B : Box} {f : WiringDiagram A B} → id ∘ f ≈ f
identityˡ {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {fᵢ ⧈ fₒ} = ≈ᵢ ⌸ U.identityˡ
where
open ⇒-Reasoning 𝒞
open ⊗-Reasoning M
≈ᵢ : fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.≈ fᵢ
≈ᵢ = begin
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ ((λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ fₒ ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ pullʳ merge₁ʳ ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (λ⇒ U.∘ (discard U.∘ fₒ) ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ (refl⟩∘⟨ η⇒ ⟩⊗⟨refl) ⟩∘⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ pushˡ split₂ʳ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ discard ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ discard) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ˡ ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (U.id ⊗₁ discard U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ pullˡ triangle ⟩
fᵢ U.∘ ρ⇒ ⊗₁ U.id U.∘ (U.id ⊗₁ discard U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ʳ ⟩
fᵢ U.∘ (ρ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ discard U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ (refl⟩∘⟨ IsMonoid.identityʳ comonoid) ⟩⊗⟨refl ⟨
fᵢ U.∘ (ρ⇒ U.∘ ρ⇐) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ unitorʳ.isoʳ ⟩⊗⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id ≈⟨ elimʳ ⊗.identity ⟩
fᵢ ∎
identityʳ : {A B : Box} {f : WiringDiagram A B} → (f ∘ id) ≈ f
identityʳ {Aᵢ □ Aₒ} {Bᵢ □ Bₒ} {fᵢ ⧈ fₒ} = ≈ᵢ ⌸ U.identityʳ
where
open ⇒-Reasoning 𝒞
open ⊗-Reasoning M
≈ᵢ : (λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id U.≈ fᵢ
≈ᵢ = begin
(λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ (fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ elimʳ ⊗.identity ⟩∘⟨refl ⟩
(λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ U.id) U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ pullˡ (pullʳ (U.Equiv.sym serialize₁₂)) ⟩
(λ⇒ U.∘ discard ⊗₁ fᵢ) U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ pullʳ (pushˡ serialize₂₁) ⟩
λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ discard ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩⊗⟨ ⊗.identity ⟩∘⟨refl ⟨
λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ discard ⊗₁ U.id ⊗₁ U.id U.∘ α⇒ U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ extendʳ assoc-commute-from ⟨
λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ α⇒ U.∘ (discard ⊗₁ U.id) ⊗₁ U.id U.∘ copy ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ʳ ⟩
λ⇒ U.∘ U.id ⊗₁ fᵢ U.∘ α⇒ U.∘ (discard ⊗₁ U.id U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ extendʳ unitorˡ-commute-from ⟩
fᵢ U.∘ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ (discard ⊗₁ U.id U.∘ copy) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ refl⟩∘⟨ IsMonoid.identityˡ comonoid ⟩⊗⟨refl ⟨
fᵢ U.∘ λ⇒ U.∘ α⇒ U.∘ λ⇐ ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ pullˡ coherence₁ ⟩
fᵢ U.∘ λ⇒ ⊗₁ U.id U.∘ λ⇐ ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ merge₁ʳ ⟩
fᵢ U.∘ (λ⇒ U.∘ λ⇐) ⊗₁ U.id ≈⟨ refl⟩∘⟨ unitorˡ.isoʳ ⟩⊗⟨refl ⟩
fᵢ U.∘ U.id ⊗₁ U.id ≈⟨ elimʳ ⊗.identity ⟩
fᵢ ∎
WD : Category o ℓ e
WD = categoryHelper record
{ Obj = Box
; _⇒_ = WiringDiagram
; _≈_ = _≈_
; id = id
; _∘_ = _∘_
; assoc = assoc
; identityˡ = identityˡ
; identityʳ = identityʳ
; equiv = ≈-isEquiv
; ∘-resp-≈ = ∘-resp-≈
}
|
